Premessa. Omeomorfismi
In precedenza abbiamo lavorato sullo spazio Rn, dotandolo di una struttura di spazio vettoriale topologico. In questo post vogliamo generalizzare tale nozione, nel senso che ci riferiremo a un generico spazio topologico e non necessariamente a Rn, per cui è necessario rammentare le nozioni basilari di topologia, prima tra tutte il concetto di omeomorfismo, che nel caso particolare di Rn, si definisce nel seguente modo:
Definizione
Se A è un sottoinsieme di Rn un'applicazione
è un omeomorfismo se φ è continua in A ed è ivi dotata di inversa continua in φ(A) (contenuta ovviamente in Rn. In tal caso si dice che i sottoinsiemi di Rn
sono omeomorfi.
Esempio
Nello spazio vettoriale topologico R¹ consideriamo l'applicazione
così definita:
φ(x) è continua in (-π/2,π/2) ed è ivi dotata di inversa continua in R¹:
Ne concludiamo che tanx è un omeomorfismo da (-π/2,π/2) a R¹, onde l'aperto (-π/2,π/2) è omeomorfo a R¹ attraverso tanx.
Spazi di Hausdorff. Varietà topologica
Dando per scontata la nozione di intorno di un punto p appartenente a uno spazio topologico(S,Θ), definiamo:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico (S,Θ) tale che
dove Up,Up' sono intorni di p e p' rispettivamente.
In altri termini, in uno spazio di Hausdorff ogni coppia di punti distinti ammette intorni disgiunti.
Assegnato uno spazio di Hausdorff (S,Θ) consideriamo un'applicazione:
dove Up è un intorno di un punto p di S. Pertanto tale applicazione associa univocamente punti di un intorno di p di S a punti di Rn. Particolarmente interessanti sono gli spazi di Hausdorff per i quali φp è un omeomorfismo nel senso della definizione data nel paragrafo precedente. In tal caso Up è omeomorfo a un aperto di Rn. Sussiste invero la seguente definizione:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff (S,Θ) si dice varietà topologica e si denota con M, se comunque prendiamo un punto p, esiste un intorno Up del medesimo punto, omeomorfo a un aperto di Rn. Cioè
L'intero n si dice dimensione della varietà nel punto p.
Definizione
Assegnata una varietà topologica M, l'omeomorfismo:
si chiama applicazione coordinata relativa ad Up. La coppia ordinata (Up,φp}) si dice carta locale di M, e Up è il dominio della carta.
Tenendo conto della definizione di spazio di Hausdorff ed utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace, possiamo dire che l'insieme delle carte locali ricopre M.