[¯|¯] Curve piane in forma implicita

Riprendiamo il Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4

Nella definizione 1.2 bisognerebbe aggiungere l'appartenenza della funzione vettoriale x(t) alla classe C¹. Ciò è una conseguenza del Teorema del Dini. Infatti, procedendo in generale:
Una curva piana Γ può essere "implicitamente" rappresentata da un'equazione:

dove

essendo A un insieme aperto (campo) di R². In altri termini, la curva Γ è l'intersezione del grafico della funzione F(x,y) con il piano coordinato xy. In alcuni casi possiamo "forzare" la variabile y esprimendola in funzione di x, utilizzando il Teorema del Dini.

A tale scopo consideriamo un punto P₀(x₀,y₀) di Γ, per cui

Per il teorema del Dini se F è di classe C¹(A):

e

Si noti che tale espressione si ottiene nel seguente modo

Il teorema del Dini fornisce, dunque, una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché una curva in forma implicita sia localmente esprimibile come il grafico di una funzione reale di una variabile reale (di classe C¹):

Analoga conclusione per ciò che riguarda la possibilità di esplicitare la variabile x:

In termini vettoriali, dopo aver rammentato l'espressione dell'operatore gradiente in R²:

si ha:

Se risulta

in un intorno di x₀=(x₀,y₀), la curva Γ si identifica con il grafico di una funzione reale di x o di y. Più precisamente:

In entrambi i casi si tratta di funzioni di classe C¹ sui rispettivi intorni. Senza perdita di generalità, supponiamo

Poniamo

da cui la rappresentazione parametrica dell'arco appartenente a Γ

Per il teorema del Dini la funzione y(t) è di classe C¹, e tale sarà la funzione vettoriale x(t):

Inoltre:

da cui la regolarità della rappresentazione parametrica locale x(t).

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