Fig. 1.
L'asserzione secondo cui una delle condizioni affinché una curva sia dotata di retta tangente è data dal non annullarsi simultaneo delle derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) che compongono una sua rappresentazione parametrica, è facilmente confutabile. Per essere più precisi, tale condizione è sufficiente ma non necessaria, come mostra l'animazione grafica di fig. 1 da cui è visibile la retta tangente a una curva piana la cui rappresentazione parametrica è non regolare in forza dell'annullarsi simultaneo delle derivate di x(t) e y(t) per t=0.
Per dimostrare ciò in maniera rigorosa premettiamo una definizione e la dimostrazione di un importante teorema.
Definizione
Una curva semplice è il codominio di una rappresentazione parametrica iniettiva:
dove
Utilizzando un linguaggio impreciso ma efficace, possiamo dire che una curva semplice "non si intreccia". Più rigorosamente, una curva semplice è priva di punti multipli.
Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema
Comunque prendiamo una rappresentazione parametrica regolare e iniettiva:
la derivata
definisce un vettore tangente nel generico punto di Γ=x(X).
Dimostrazione
Preso ad arbitrio t0 in X, sia P0[x(t0),y(t0),z(t0)] il corrispondente punto della curva Γ. Se Δt è un incremento di t0 tale
resta definito il punto P [x(t0+Δt),y(t0+Δt),z(t0+Δt)] di Γ. Per ipotesi la curva è semplice, onde:
Consideriamo quindi la retta s0 passante per P0,P. Chiamiamo s0 retta secante a Γ per i punti P0,P. Una terna di numeri direttori di s0 è:
dividendo per Δt (diverso da zero), otteniamo una nuova terna di numeri direttori di s0:
ovvero le componenti del vettore w parallelo a s0:
Quindi s0 è la retta per x(t0) e parallela a w, e la sua equazione nella forma dei rapporti uguali si scive:
Se Δt->0, il punto P tende a P0 e la retta s0 ruota attorno a P0 per tendere ad una posizione limite che indichiamo con τ0, come illustrato in figura:
Simbolicamente:
Pertanto, l'equazione di τ0 si ottiene eseguendo l'operazione di passaggio al limite per Δt->0. Tenendo conto di:
otteniamo
Una rappresentazione parametrica di τ0 è:
che in forma vettoriale si scrive:
dove
è un vettore tangente a Γ nel punto P0, mentre x0=x(t0). Resta dunque definito il campo vettoriale tangente:
c.d.d.
Dal teorema appena dimostrato segue che la condizione 2 di regolarità
è una condizione sufficiente per l'esistenza della retta tangente a una curva semplice Γ=x(X). Peraltro, tale condizione non è necessaria. Ad esempio, sia data in R² la rappresentazione parametrica
che è iniettiva ma non regolare, giacché:
Se Γ è il codominio di tale rappresentazione, si ha che la sua equazione in coordinate cartesiane è:
Cioè Γ è il grafico della restrizione della funzionee
all'intervallo [0,π²]. La derivata prima di f(x) è:
per cui la retta tangente τ0 a Γ nel generico punto P0(x0,f(x0)) ha equazione:
Cioè
giacché il coefficiente angolare di τ0 è
Dalla violazione della condizione di regolarità
segue che la retta tangente non sembra definita in t0=0, cioè nel punto x=y=0. Tuttavia, eseguendo l'operazione di passaggio al limite:
per cui la retta tangente a Γ nell'origine ha equazione
come mostrato nel grafico seguente:
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