Fig. Andamento dell'ascissa di un oscillatore armonico sottoposto a una forza periodica ma non sinusoidale. I singoli andamenti si riferiscono a differenti valori della pulsazione caratteristica dell'oscillatore. Siamo comunque lontani dalla risonanza con le singole componenti di Fourier della forza esterna. Il comportamento è tuttavia interessante
Applichiamo a un oscillatore armonico ideale di massa m e frequenza caratteristica ?0, una forza F(t) che sia una qualunque funzione periodica del tempo di periodo T:
Il secondo principio della dinamica si scrive:
Al solito f(t)=F(t)/m è la forza per unità di massa. Se tale funzione verifica le condizioni di Dirichlet
dove
con
pulsazione della forza applicata dell'oscillatore. I coefficienti ak,bk sono i coefficienti di Fourier
sostituendo nell'equazione precedente:
Se x(t) è un integrale particolare, la linearità della equazione differenziale ci consente di scrivere:
che può essere riscritta come
avendo posto per definizione
Imponiamo che la soluzione scritta come somma di una serie di Fourier sia una soluzione dell'equazione impostata in precenza. A tale scopo supponiamo che la regolarità delle funzioni coinvolte sia tale da rendere possibile una derivazione termine a termine della serie di Fourier. Quindi:
Con tali sviluppi si ottiene:
Segue
e per k>=1
Cioè
da cui ricaviamo i coefficienti di Fourier della soluzione x(t) in funzione dei coefficienti di Fourier della sollecitazione applicata:
Quindi
Finalmente
che è una conseguenza della linearità dell'equazione differenziale data. Quest'ultima è a sua volta la formulazione matematica del principio di sovrapposizione lineare degli effetti. Ne consegue che la componente k-esima dello sviluppo di Fourier di f(t) va interpretata come una singola sollecitazione sinusoidale. Tuttavia è lecito troncare lo sviluppo di Fourier a un termine n>1, il cui ordine di grandezza dipende dalla funzione f(t). Ad esempio, consideriamo
che è periodica di periodo T=1s , per cui la pulsazione è Ω=1rad/s . Calcoliamo con Mathematica lo sviluppo in serie di Fourier di f(t) arrestato al termine del quint'ordine:
Dal grafico di fig. 1 vediamo che l'approssimazione è abbastanza accettabile.
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Fig.1. Confrontiamo la funzione f(t)=(1/π)arccos[cos(2πt)] con il suo sviluppo in serie di Fourier troncato al termine del quint'ordine. I grafici sono quasi sovrapposti.
Calcoliamo l'ascissa:
dove abbiamo lasciato ω0 come parametro libero. Ad esempio, per ω0=20rad/s cioè lontani dalla risonanza nelle singole componenti di Fourier, otteniamo il grafico di fig.2.
Fig.2. Ascissa dell'oscillatore per ω0=20rad/s.
In ogni caso questo valore della frequenza sembra interessante, come possiamo vedere dallo strano andamento per ω0=15rad/s riportato in fig.3.
