[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti (parte 2)

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Per gli infiniti si dimostra una proposizione analoga:
Proposizione
Siano f₁(x) e f₂(x) due infiniti equivalenti (per x->x₀).
Se f_k(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che f_h(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.

Esempio
Consideriamo gli infiniti per x->oo:

Per quanto visto in quest'esempio

onde l'equivalenza degli infiniti assegnati. Determiniamo la parte principale di f₁(x) rispetto all'infinito

Innanzitutto calcoliamone l'ordine:

cosicché f₁(x) è di ordine 1/2 rispetto a g(x), riuscendo

Abbiamo pertanto la decomposizione:

con

Ciò implica









Per la proposizione precedente:

con

Cioè

I vari andamenti sono illustrati in fig. 1.

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