Fig. 1.
In questa Lezione abbiamo introdotto la nozione di infinitesimo [infinito] dotato di ordine. Osserviamo ora che non tutti gli infinitesimi [infiniti] sono dotati di ordine. Ad esempio nel caso degli infinitesimi, assegnata la classe I(x0) degli infinitesimi in x0 e non definitivamente nulli intorno a tale punto, e l'infinitesimo di riferimento:
può accadere
In tale circostanza diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente grande (rispetto a u(x)). Si badi che f(x) e u(x)α} sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza dell'ordine di infinitesimo. Se invece:
diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente piccolo (rispetto a u(x)).
Esempio 1
Assegnata la funzione
si ha
essendo I(+oo) la classe degli infinitesimi per x->+oo, non identicamente nulli intorno a x=+oo. Assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione:
per cui calcoliamo
Applicando ripetutamente la regola di De L'Hospital:
per cui e-x è (per x->+oo) un infinitesimo di ordine infinitamente grande.
Esempio 2
Assegnata la funzione
si ha
Assumendo come infinitesimo di riferimento
si ha
Eseguendo il cambio di variabile t=1/x e tenendo conto del risultato dell'esempio precedente.
Ne concludiamo che la funzione assegnata è un infinitesimo (per x->0+) di ordine infinitamente grande. La funzione è graficata in fig. 1.
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