Fig. 1
Studiare continuità e derivabilità al variare dei parametri reali a,b della funzione illustrata in fig. 1.
Soluzione
L'integrale che compare nell'espressione analitica della funzione per x>2, non è elementarmente esprimibile. Più precisamente, si esprime attraverso una funzione speciale nota come funzione degli errori:
per cui
Ciò premesso, studiamo il comportamento della funzione in un intorno di x=2. A tale scopo calcoliamo:
Per risolvere l'indeterminazione applichiamo la regola di De L'Hospital:
Per x->2-:
Ne consegue che qualunque siano a,b il punto x=2 è di discontinuità di seconda specie. La continuità in x=2 può esserci solo a sinistra per b=-1/2. Inoltre, la funzione non è ivi derivabile, ma lo è solo a sinistra. Passiamo al comportamento per x->0.
Riesce:
onde
Per a=amin
per cui
Pertanto
Per x->0-:
Per a=amin:
Ne consegue
Quindi x=0 è un punto di infinito per la funzione. Ne concludiamo che la funzione assegnata non è mai continua in x=0,2 comunque prendiamo i parametri reali a,b. Solo per b=-1/2 si verifica la continuità a sinistra in x=2. Infine, è facile convincersi che la funzione è infinitesima per x->+oo. Infatti:
Ma
onde
Per x->-oo
Cioè la retta y=-1/2 è asintoto orizzontale a sinistra. Nella seguente figura riportiamo il grafico per diversi valori dei parametri.
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)