[¯|¯] Lunghezza di un arco di spirale logaritmica

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Esercizio

Determinare la lunghezza dell'arco di di spirale logaritmica

di cui una rappresentazione parametrica è

Gli estremi dell'arco sono P(r=0,φ=0) e O(r=0,φ=-oo). Scrivere, infine, la rappresentazione naturale dell'arco assegnato.

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Soluzione
Vediamo subito che il punto O(r=0,φ=-oo) è il polo del riferimento polare (r,φ) il cui asse polare è l'asse x. Come è noto, tale punto è asintotico per γ.

Ne consegue che una rappresentazione parametrica del predetto arco è:

Assumendo su γ(P,Q) un riferimento curvilineo con origine in P e s contata nel verso delle φ decrescenti, si ha che la funzione s(t) è strettamente decrescente. Perciò:

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