[¯|¯] Interpretazione intuitiva dell'integrale curvilineo di una funzione

In una lezione precedente abbiamo stabilito che

con ovvio significato dei simboli. Tale relazione non fa altro che ridurre un integrale curvilineo a un integrale definito o, ciò che è lo stesso, l'integrazione lungo un arco di curva all'integrazione lungo un segmento. Infatti, la rappresentazione parametrica naturale

stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti dell'arco γ(P,Q) e i punti dell'intervallo [α,β], come illustrato in fig. 1, in cui è tracciato il grafico della funzione g(s):

Il passaggio dalla rappresentazione naturale alla rappresentazione parametrica non naturale:

implica il cambio di variabile s=s(t) nell'integrale a secondo membro dell'equazione che definisce l'integrale curvilineo.









Precisamente:

dove, ricordiamolo, va preso il segno + se la funzione s(t) è strettamente crescente, altrimenti prendiamo il segno -. Quindi:

• s(t) è strettamente crescente.
  Gli estremi di integrazione mutano in
  
  per cui
  
  dove
  
• s(t) è strettamente decrescente.

Gli estremi di integrazione mutano in



per cui

Ne concludiamo

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