Scriviamo l'equazione di continuità:
Equazione di stato dei gas perfetti:
Equazione dell'energia
dove dq è il calore ceduto al fluido e i è l'entalpia. Scriviamo ora l'equazione delle forze (o della quantità di moto). A tale scopo consideriamo l'elemento di volume Sdx la cui massa è dm=ρSdx, in equilibrio sotto le forze di pressione, di massa e d'attrito. La reazione di attrito per unità di massa è F che compie un lavoro dL=Fdx passando da x a x+dx. Segue
Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, scriveremo:
Le quattro relazioni ottenute sono gli strumenti per lo studio del moto. Va ricordato da Fisica Tecnica -- Moto dei fluidi sotto forti differenze di pressioni che la velocità del suono nell'aria è data dalla relazione
dove K=CpCv è l'esponente di trasformazione adiabatica, mentre p1 e v1 sono rispettivamente la pressione e il volume specifico del fluido nella sezione iniziale del flusso. Segue
dove pc e vc sono rispettivamente la pressione e il volume specifico critici nella sezione minima della vena.
Ricordando che
scriveremo
e dunque l'equazione che esprime la velocità del suono diventa:
Il rapporto W/WAc è il numero di Mach M
Inoltre si ha:
Ma sappiamo che Cp-Cv=R quindi
Ciò premesso, possiamo scrivere:
a) per l'equazione di continuità: => ρWS=cost => lnρ+lnW+lnS=cost e quindi
b) per l'equazione dell'energia: dq=CpdT+WdW da cui
c) per l'equazione delle forze:
Dopo qualche passaggio:
Ricordando il rapporto N, possiamo scrivere
Differenziando
Dall'equazione dei gas perfetti
Differenziando
