Definizione
Assegnata una superficie regolare S si dice geodetica di S, una curva regolare tracciata su S, tale che in ogni suo punto la normale principale coincide con la normale alla superficie.
Assegnata una parametrizzazione di S:
Ci si pone il problema della ricerca della rappresentazione naturale della più generale geodetica:
essendo s l'ascissa curvilinea. Tali funzioni risolvono il sistema di equazioni differenziali (scritto nella notazione u1=u, u2=v):
dove i termini Γ sono i simboli di Christoffel e sono dati da (cit. Marmi-Fasano)
dove agisce la convenzione di somma sugli indici ripetuti due volte. A secondo membro troviamo l'elemento di matrice dell'inversa della matrice metrica, per cui:
Ciò premesso, vediamo come si particolarizza il sistema di equazioni differenziali delle geodetiche nel caso di una superficie di rotazione. Nella predetta notazione, la matrice metrica e la sua inversa si scrivono
Calcoliamo i simboli di Christoffel:
Dal momento che la matrice metrica è diagonale:
Segue
Quindi
Dall'equazione scritta più sopra:
Ma gli elementi della matrice metrica non dipendono dalla coordinata u² (per un'evidente ragione di simmetria), per cui
In maniera del tutto analoga si calcolano i rimanenti coefficienti:
Ora siamo in grado di scrivere le equazioni differenziali delle geodetiche per la più generale superficie di rotazione. Per k=1
Sommando sugli indici ripetuti due volte e riapplicando il procedimento per k=2, si perviene al sistema di equazioni differenziali del second'ordine
avendo ripristinato la notazione (u,v) per le coordinate curvilinee. Osserviamo che
dunque la seconda equazione differenziale diviene:
Se la costante c è diversa da zero:
Tenendo conto dell'espressione del ds^2 trovata nella lezione precedente
Separando le variabili:
che definisce la rappresentazione v=v(u) della geodetica. Se c=0
cioè i meridiani sono geodetiche. Diversamente, dalle equazioni differenziali delle geodetiche, segue che i paralleli (u(s)=costante) sono geodetiche se e solo se
Ad esempio, supponiamo di avere la superficie di rotazione definita in fig. 1. Qui le equazioni differenziali delle geodetiche sono:
che possono essere integrate numericamente con Mathematica.