Coordinate curvilinee. Paralleli e meridiani

Novembre 21st, 2021 | by Marcello Colozzo |

coordinate curvilinee,paralleli e meridiani
Fig. 1


Riprendiamo il caso di una generica superficie di rotazione S generata dall'arco di curva regolare


per cui

dove D=[a,b]×[0,2π] è il dominio base della rappresentazione. Abbiamo, dunque, una corrispondenza tra i punti (u,v) del dominio del piano (u,v) e i punti della superficie S, come illustrato nella fig. 1, dove è disegnata la superficie di rotazione generata dalla curva


onde

Al punto Q0(u0,v0) corrisponde (con ovvio significato dei simboli) il punto P0(x(u0,v0),y(u0,v0),z(u0,v0)).

Per esigenze di natura grafica, nella predetta figura abbiamo utilizzato una particolare curva generatrice. Ritornando al caso generale, vediamo che al segmento u=u0 tracciato nel dominio base, corrisponde sulla superficie S l'arco di curva regolare:

Diremo che Cu0 è tracciata su S. La regolarità dell'arco γ implica manifestamente la regolarità di Cu0. Allo stesso modo, al segmento v=v0 in D, corrisponde su S l'arco regolare:

Si noti che ciò è una proprietà generale: a ogni curva regolare in D, corrisponde una curva tracciata su S. È chiaro che il punto P0 è dato dall'intersezione di Cu0 e Cv0, mentre i valori(u0,v0) dei parametri della rappresentazione, svolgono il ruolo di coordinate curvilinee del punto P0. Quindi in generale, è preferibile utilizzare la notazione P(u,v).
Definizione
Le curve regolari Cu0, per un assegnato u0 in [a,b] preso ad arbitrio, si dicono paralleli, mentre le curve regolari Cv0, per un assegnato v0 in [a,b] preso ad arbitrio, si dicono meridiani. L'insieme dei meridiani e dei paralleli costituiscono le linee coordinate o più semplicemente, un sistema di coordinate curvilinee su S.

Prima forma fondamentale. Metrica

È preferibile scrivere la rappresentazione parametrica della più generale superficie di rotazione in forma vettoriale:


Derivando rispetto alle singole variabili:

che definiscono i campi vettoriali tangenti alle linee coordinate. Definiamo le funzioni:

L'annullarsi della funzione F(u,v) implica che il sistema di coordinate curvilinee su S è ortogonale, qualunque sia la rappresentazione parametrica della curva generatrice. Il quadrato dell'elemento di distanza ds su S, è


Eseguendo il prodotto scalare:

che è una forma quadratica positiva. Ricordiamo dalla geometria differenziale, che nel caso generale risulta:

che può essere messa in una forma più compatta, introducendo la metrica:

Utilizzando la notazione


e la convenzione di Einstein della somma sugli indici ripetuti, si ottiene:


Nel caso speciale di una superficie di rotazione, la metrica è

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