Nei numeri precedenti abbiamo stabilito che la convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza di una serie. Tuttavia, tale condizione non è necessaria. Enunciamo (senza dimostrare) tre teoremi sulla convergenza non assoluta.
Teorema 1
Hp
La successione delle somme parziali {Sp} relative a una assegnata serie
è superiormente limitata. Inoltre, la successione di numeri reali non negativi {cn} è non crescente ed infinitesima.
Th
La serie
è convergente.
Teorema 2
Hp
La serie
è convergente. Inoltre, la successione di numeri reali {cn} è non crescente ed inferiormente limitata.
Th
La serie
è convergente.
Teorema 3
Hp
La successione di numeri reali positivi {cn} è decrescente ed infinitesima.
Th
è convergente. Denotando con σ la sua somma:
le somme parziali di ordine dispari:
forniscono valori approssimati per ecceso della somma σ, e le somme parziali di ordine pari:
forniscono valori approssimati per difetto della predetta somma.
Ad esempio:
Qui è
per cui la serie assegnata è convergente. Però non è assolutamente convergente, giacché la serie i cui termini sono i valori assoluti, è la serie armonica che come sappiamo, è divergente.
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