Si tratta di importantissimi teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti per la convergenza assoluta di una serie numerica.
Criterio di confronto
Sia
un'assegnata serie a termini positivi. Se
e se la serie a termini positivi converge, allora la serie
converge assolutamente. Se
e se la serie a termini positivi diverge, allora la serie
non converge assolutamente.
Dim.
Segue immediatamente dal teorema dimostrato in questa lezione.
Corollario
Data la serie
se un è per n->+oo un infinitesimo di ordine α (rispetto all'infinitesimo di riferimento 1/n), si ha:
Dim.
Per ipotesi:
Cioè
Per un teorema dimostrato in questa lezione
e per il criterio di confronto, la serie assegnata è assolutamente convergente. Viceversa:
Per concludere, la serie scritta in fig. 1 è assolutamente convergente, giacché il termine n-esimo è per n->+oo un infinitesimo di ordine 3/2.
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