Premettiamo la seguente proprietà
Proprietà di densità
L'insieme Q dei numeri razionali è denso in R, ossia comunque prendiamo x,y in R con x diverso da y, esistono infiniti numeri razionali compresi tra x e y.
Consideriamo ora la seguente funzione definita in X=Q+ (insieme dei razionali non negativi):
Un assegnato xn=n è di accumulazione per X giacché per la proprietà di densità, in ogni intorno di xn cade almeno un punto (=> infiniti) di X distinto da n. Ciò ci consente di poter applicare la definizione di limite. Nel caso in esame, risulta:
per cui la funzione assegnata è ivi continua. Diversamente:
In definitiva:
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