Esercizio
Consideriamo due particelle interagenti per mezzo di una forza centrale (potenziale V(r) dove r è il modulo del vettore posizione; fig. 1.
a) Ottenere la lagrangiana del centro di massa e mostrare che l'energia e il momento angolare si conservano. Provare che il moto è in un piano e soddisfa la seconda legge di Keplero (il vettore posizione spazia aree uguali in tempi uguali).
b) Supporre che il potenziale sia
e che l'energia E sia conosciuta. Trovare le espressioni dei valori minimo e massimo che r assume nel corso del moto.
Soluzione
Poiché le forze agiscono sulle particelle sempre lungo la linea di separazione, il moto rimane confinato nel piano in cui le particelle inizialmente si sono mosse. Usiamo le coordinate polari con origine in fig. 1. Per definizione di centro di massa abbiamo
Quesito a
L'energia cinetica delle particelle è
Dall'equazione scritta più sopra, segue
dove
è la massa ridotta del sistema. L'energia potenziale è
Ne segue la lagrangiana
Pavendo assunto r2,θ come coordinate generalizzate. La lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, per cui
avendo usato le equazioni di Lagrange. Quindi:
Nel nostro caso si ha:
per cui possiamo scrivere:
mostrando che l'energia totale è conservata. Poiché L non dipende esplicitamente da θ, l'equazione di Lagrange dà:
Il momento angolare del sistema riferito al centro di massa è
Dunque il momento angolare è conservato. Quanto sopra implica inoltre
ovvero
dove ΔS è l'area spazzata dal vettore r nel tempo Δt. È così soddisfatta la seconda legge di Keplero.
Quesito b
L'energia totale è
che può essere scritta come:
I valori massimo e minimo di r si hanno per dr/dt=0
