Integrali ellittici di prima, seconda e terza specie

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Seguendo le orme di Smirnov, si dimostra che un qualunque integrale ellittico

è comunque riducibile a integrali del tipo

dove φ(x) è un polinomio e k un intero relativo.

Definiamo rispettivamente integrale ellittico di prima specie, seconda e terza specie gli integrali scritti in fig. 1, quindi dimostriamo
Proposizione
Un qualunque integrale ellittico si esprime come combinazione lineare degli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Dim.

Senza perdita di generalità, assumiamo che P(x) sia un polinomio di terzo grado:

Quindi poniamo

Per un intero naturale m non nullo assegnato ad arbitrio, deriviamo

Integrando primo e secondo membro

essendo C una costante di integrazione. Ordinando i vari termini, otteniamo

che è manifestamente una formula di ricorrenza per gli integrali I_k. Per m=0,m=1 otteniamo

cioè un sistema lineare che ci permette di esprimere gli integrali I₂,I₃ attraverso I₀, I₁. Per m=2

che esprime I₄ attraverso I₃,I₂,I₁. Iterando il procedimento vediamo dunque che per un qualunque k intero positivo, I_k si esprime attraverso I₀,I₁. Denotando con r il grado del polinomio φ(x), si ha:

da cui la prima parte dell'asserto, giacché I_k si esprime attraverso I₀,I₁. Per la seconda parte dell'asserto, prendiamo l'integrale

per poi eseguire il cambio di variabile t=x-a, per cui l'integrale diventa

L'asserto segue immediatamente da un procedimento analogo a quello visto nel caso precedente.