Integrali ellittici. Lezione 1 (introduzione)

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Sia dato il seguente integrale

essendo R(x,y) una funzione razionale, e P(x) un polinomio di grado n.
Definizione
Se è n=3 o n=4, l'integrale appena scritto si dice integrale ellittico.
In generale, gli integrali ellittici non sono elementarmente esprimibili. Prima di procedere, rammentiamo velocemente i principali metodi di integrazione per n=2. Quindi

Il caso più semplice è

Qui si cerca di manipolare l'integrando, scrivendo:

con A,B coefficienti da determinare. Esempio pratico:

Abbiamo

Dopo qualche passaggio, otteniamo il sistema

Ne segue

Un altro esempio pratico:

Qui vediamo che

per cui cerchiamo di far comparire tale termine a numeratore. Scriviamo

Il secondo integrale è come quello visto prima. Allora calcoliamo il primo (omettiamo la costante di integrazione):

Passiamo al secondo:

Dalle tavole degli integrali fondamentali:

Quindi

Finalmente