Ciò premesso, il problema in esame si riconduce al seguente problema di Cauchy:
che per una funzione V'eff(r) lipschitiana, ammette l'unica soluzione:
Tale soluzione è manifestamente una rappresentazione parametrica dell'orbita. D'altra parte, dalla seconda equazione differenziale si trae
Cioè la derivata rispetto al tempo dell'angolo polare ha lo stesso segno della componente z del momento angolare, e come tale non si annulla mai:
Escludiamo il caso banale Lz=0, in cui il moto è puramente radiale. Il non annullarsi della derivata implica che la sostituzione t->φ è una sostituzione di parametro ammissibile della rappresentazione parametrica scritta precedentemente. Quindi
Ne segue che dobbiamo scrivere un'equazione differenziale per tale funzione. A tale scopo sfruttiamo la conservazione dell'energia meccanica:
Cioè
da cui tenendo conto dell'espressione della derivata dell'angolo polare, si ottiene:
nota come prima forma dell'equazione delle orbite. Abbiamo dunque il problema di Cauchy:
Si noti la presenza dell'energia meccanica che svolge il ruolo di parametro:
È preferibile lavorare sulla funzione inversa φ(r):
Procedendo per separazione di variabili:
Deve essere E-Veff(r) > 0. Se vale l'uguaglianza l'integrale è un integrale generalizzato, per cui si presenta il problema della convergenza. Tuttavia qui valgono le medesime considerazioni svolte per i moti unidimensionali. Precisamente, se la funzione f(r)=E-Veff(r) ha zeri semplici, cioè del tipo
allora l'integrale converge. Resta dunque definita la regione accessibile:
Proposizione
I punti critici del potenziale efficace corrispondono a orbite circolari.
Dim.
Per un'orbita circolare
la condizione iniziale è r(t0)=r0, per cui l'asserto segue immediatamente dall'equazione differenziale del moto
