Alcune osservazioni/correzioni su questa lezione.
Senza perdita di generalità, supponiamo che l'energia potenziale efficace sia del tipo di fig.
Dallo studio dei moti unidimensionali in un campo conservativo , sappiamo che la particella compie un moto periodico (rispetto alla coordinata radiale r) di periodo
Come varia l'angolo polare (anomalia)? Nel frattempo, osserviamo che la regione classicamente accessibile è:
cioè l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi rmin,rmax,.
rmin è il modulo del vettore posizione del punto più vicino al centro della forza. Chiamiamo tale punto pericentro. Allo stesso modo, chiamiamo apocentro il punto più lontano, i.e. di vettore posizione di modulo rmax. Le rispettive anomalie sono:
Ne segue l'angolo tra pericentro e apocentro:
Vediamo ora sotto quali condizioni l'orbita è chiusa, ovvero è una curva regolare semplice e chiusa (nel senso della geometria differenziale. Supponiamo che la particella si trovi inizialmente nel pericentro A1, come in fig.
Quindi percorre l'arco di orbita γ1 impiegando un tempo
Dalla periodicità del moto radiale, segue che giunta in A2, la particella si sposterà nuovamente verso rmin, ma attenzione: ciò non significa che verrà percorso a ritroso l'arco γ1. Infatti, dalla predetta figura. vediamo che la particella percorre l'arco γ2, impiegando un tempo pari a T/2. Ciò implica che l'angolo polare tra A2 e A3 è ancora Δφ. Precisamente, l'angolo polare di A2 è
Dal momento che
si ha
Dal punto A3 la particella percorre l'arco γ3 fino all'apocentro A4 di angolo polare
Nella figura più sopra abbiamo supposto Δφ=π/2, per cui percorrendo l'arco γ3, la particella si troverà nuovamente in A1, per cui l'orbita è chiusa. Riepilogando:
In generale:
Ne segue che l'orbita è chiusa se esiste un n pari tale che
Cioè
