Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata

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Esercizio

Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata πα².

Soluzione
L'ellisse

forma un'area πab. La nostra richiesta è πab= α², da cui b = α²/a. Ne segue che l'ellisse

appartiene alla famiglia assegnata:

dove

Dobbiamo risolvere il sistema

Dalla seconda

che sommata alla prima restituisce:

Sostituendo nella seconda:

Cioè le iperboli equilatere disegnate in fig. 1.

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Exercise

Determine the envelope of the coaxial ellipses centered at the origin, having an assigned area πα².
Solution
The ellipse

forms an area πab. Our request is πab= α², hence b = α²/a. It follows that the ellipse

belongs to the assigned family:

where

We need to fix the system

From the second

which added to the first returns:

Substituting in the second:

That is, the equilateral hyperboles drawn in fig. 1.