[¯|¯] Differenziale di una funzione vettoriale. Matrice jacobiana

Premettiamo alcuni richiami di Analisi matematica 1 e Analisi matematica 2.
Sia f:X->R reale di una variabile reale, derivabile in X. La funzione lineare omogenea dell'incremento Δx, data da

si dice differenziale di f. Se applichiamo tale definizione alla funzione identica f(x)=x, si ottiene dx=Δx per cui il differenziale può essere scritto come:

Teorema
Nelle ipotesi precedenti, se Δf è l'incremento della funzione corrispondente all'incremento Δx della variabile indipendente, si ha:

dove ω(Δx) è, per Δx->0, un infinitesimo di ordine superiore a Δx.

Ora consideriamo il caso di una funzione reale di n variabili reali:

Se f è dotata in A di derivate parziali

si dice differenziale totale di f la seguente funzione lineare degli incrementi Δx₁,...,Δx_n delle variabili indipendenti:

Anche in questo caso è facile mostrare che

onde

Sussiste il teorema:

Teorema
Se è di classe C^1 su A, si ha:

dove ω(ρ) è, per ρ->0, un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ρ.

Ciò premesso, ci proponiamo di generalizzare la nozione di differenziale totale a una funzione vettoriale di variabile vettoriale:

dove E e V sono i soliti spazi vettoriali su un campo K, supponendo di aver assegnato le rispettive basi:

Abbiamo che f(x) è un vettore a m componenti:

Il differenziale totale della k-esima componente è

Definizione
Dicesi differenziale della funzione vettoriale f(x), il vettore

Il vettore le cui componenti (nella base {e₁,...,e_n) sono i differenziali delle componenti di x, è

Inoltre

rammentando che

Quindi il differenziale df è una funzione vettoriale lineare della variabile vettoriale dx, e come tale è dotata di una matrice rappresentativa rispetto alle basi assegnate. Per esplicitare gli elementi di matrice, scriviamo per esteso i differenziali delle componenti:

Per definizione di matrice rappresentativa, si ha:

che si chiama matrice jacobiana della funzione vettoriale f(x) rispetto alle predette basi. Se i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione n, la matrice jacobiana è quadrata di ordine n, e il suo determinante si dice jacobiano della funzione, e si indica con