[¯|¯] Il caso del paraboloide ellittico

Le considerazioni precedenti suggeriscono di riformulare in maniera più compatta la definizione di rappresentazione parametrica di una superficie, sostituendo il dominio base D con un qualunque aperto U.
Definizione
Un'applicazione r(u,v) di un aperto U a S (superficie) è una rappresentazione parametrica di classe C^p di S, se

Esercizio
Studiare la rappresentazione parametrica:

Soluzione
Si tratta di una funzione di classe C^oo su R². Inoltre:

onde

Ne consegue che l'applicazione assegnata è una rappresentazione parametrica regolare di classe C^oo. Per esplicitare il tipo di superficie proviamo a ricavare la rappresentazione cartesiana. Eliminando i parametri, otteniamo

da cui ricnosciamo l'equazione di un paraboloide ellittico