[¯|¯] Esercizio svolto sul moto piano in coordinate polari

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Esercizio

Testo tratto da Guida alla soluzione di problemi di fisica : meccanica, onde, termodinamica. La soluzione è nostra).
Una particella si muove lungo una traiettoria la cui equazione, in coordinate polari (r,φ), è:

Si sa inoltre che φ varia nel tempo secondo la legge

Si determini la velocità della particella in funzione di φ.

Soluzione
Decomponiamo il vettore velocità nelle componenti radiale e trasversale:

essendo










Esplicitiamo le singole funzioni in modo da poterle derivare rispetto al tempo t:

Segue

Siccome v_re_r,v_&phie_{Siccome vrer,v&phier sono vettori ortogonali, si ha}
sono vettori ortogonali, si ha

Sostituendo le espressioni precedentemente trovate:

Il problema chiede la velocità in funzione di φ, per cui

Alternativamente, passiamo dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane:

Segue

che sono le equazioni parametriche della traiettoria (fig. 1).

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