[¯|¯] Cavalcando l'onda pilota dell'oscillatore armonico

A titolo di esempio, consideriamo il caso dell'oscillatore armonico unidimensionale, supponendo che la particella sia inizialmente preparata in una sovrapposizione lineare dello stato fondamentale e del primo livello eccitato, con pari ampiezza di probabilità:

dove

sono le autofunzioni dell'energia dello stato fondamentale e del primo livello eccitato, rammentando che gli autovalori dell'energia sono

L'evoluto temporale dello stato iniziale è descritto dalla funzione d'onda

Sviluppando l'esponenziale immaginario con la formula di Eulero, si può scrivere ψ nella forma:

e quindi nella forma polare

per poi porre conformemente alla notazione utilizzata da Bohm:

Dopo qualche passaggio:

Nel frattempo grafichiamo (fig. 1) la parte reale e la parte immaginaria dell'onda pilota ψ

A questo punto non dobbiamo fare altro che risolvere il problema di Cauchy:

Ad esempio, per x(0)=1 ed integrando numericamente, si trova l'andamento graficato in fig. per ciò che riguarda il diagramma orario del moto della particella.

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