[¯|¯] Applicazioni delle formule di Green: formule di riduzione degli integrali doppi

Supponiamo di dover calcolare l'integrale doppio:

dove f(x,y) è una funzione continua nel dominio D regolare rispetto all'asse y, nell'ipotesi in cui è nota una primitiva F(x,y) di f(x,y) rispetto a x:

Ne consegue

Per la prima formula di Green si ha:

che riduce l'integrale doppio proposto in un integrale semplice, sia pur curvilineo. In particolare, per f(x,y)=1 una primitiva è F(x,y)=x, onde

Cioè

In maniera analoga, se D è un dominio regolare rispetto all'asse x, si ha:









Se poi D è un dominio regolare rispetto a entrambi gli assi coordinati, sommando membro a membro le formule trovate:

Esempio
Sia D il dominio limitato dall'asteroide:

graficato in fig. 1. Dal momento che si tratta di un dominio regolare, la sua area si esprime come

Calcoliamo a parte

Segue

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