Per esplicitare la sommatoria
applichiamo la congettura di Riemann:
Si noti che l'espressione analitica della successione di elmenti di R:
è ignota. Ciò che è invece noto, è l'insieme dei valori assunti dai singoli termini fino a un certo ordine. In parole povere la non conoscenza dell'espressione analitica (se esiste) della predetta successione, implica che la parte immaginaria degli zeri della funzione zeta di Riemann, può essere al più computata manualmente (o via software), e ciò può realizzarsi per un numero infinito di elementi. In ogni caso, consideriamo l'espansione da -oo a +oo:
Per una nota proprietà della funzione zeta di Riemann:
dove ρn* è il complesso coniugato di ρn:
Cioè gli zeri della zeta di Riemann si distribuiscono lungo la linea critica per coppie complesse coniugate, da cui la simmetria della distribuzione rispetto all'asse reale, come appare in fig. 1. Ciò suggerisce la posizione:
da cui
Se nella prima sommatoria eseguiamo il cambio di indice n'=-n:
Cioè
il cui contributo alla funzione di distribuzione dei primi π0(x) è:
Ovvero
essendo
In altri termini, la funzione HN(x) è per un assegnato N, il contributo alla funzione di distribuzione π0(x), ed è la somma della serie scritta sopra, il cui termine n-esimo è il contributo proveniente dallo zero n-esimo della zeta di Riemann.
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