Fig. 1
L'insieme di Cantor è un oggetto tutt'altro che maneggevole, per cui procederemo per gradi. In questo post vedremo come "costruire manualmente" il suddetto insieme. Concettualmente è molto semplice: si tratta di un procedimento ricorsivo che parte dall'intervallo chiuso [0,1] e lo divide in tre "parti" uguali (quindi, ciascuna di ampiezza 1/3), dopodichè si rimuove l'intervallo centrale. Il procedimento viene ripetuto sugli intervallini estremi, e così via all'infinito. La difficoltà iniziale coniste nel "matematizzare" il procedimento. Ed è proprio questo lo scopo dell'articolo odierno.
Assegnato un intervallo chiuso [a,b] di R, qundi di ampiezza Δ=b-a eseguiamo una
decomposizione D([a,b]) di norma δ=Δ/3 attraverso l'insieme di punti equispaziati:
Cioè
come appare in figura:
Consideriamo l'intervallo centrale:
il cui interno è l'aperto
e il complementare in [a,b] è:
rappresentato di seguito:
In altri termini, questo insieme è ottenuto rimuovendo da [a,b] l'intervallo centrale (x1,x2). Formalmente ciò può essere visto come il risultato dell'azione di una applicazione
schematizzata in figura:
Il procedimento appena visto può essere ripetuto sugli intervalli parziali
facendo cioè agire l'applicazione sui predetti intervalli. Ci proponiamo di determinare il risultato di un numero infinito di iterazioni del procedimento. A tale scopo focalizziamo la nostra attenzione sull'intervallo chiuso [0,1], anziché su un generico intervallo [a,b].
Più specificatamente, per un assegnato intero naturale k costruiamo per ricorrenza 2k intervalli contenuti in [0,1] e a due a due disgiunti:
La ricorrenza è definita da
che per k=1 restituisce
Per quanto precede
onde
vale a dire
Per k=2 è j=1,2, per cui la formula per ricorrenza restituisce
da cui vediamo che per determinare gli intervalli
dobbiamo esplicitare l'azione dell'applicazione su
calcolati in precedenza. Abbiamo
Tale procedimento è illustrato nelle figure seguenti:
Segue
Cioè
Tale procedimento ricorsivo, per ogni k restituisce univocamente 2k intervalli contenuti in [0,1] e a due a due disgiunti, la cui unione è
Precisamente
come riportato in fig. 1.
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