Fig. 1. Esempio di curva regolare dotata di punti multipli. Si tratta comunque di una curva "localmente semplice"
Nel post precedente abbiamo introdotto il concetto di "traiettoria" di un punto materiale rispetto a un'assegnata terna di riferimento K(Oxyz). Esaminiamo ora tale nozione dal punto di vista della Geometria differenziale.
Definizione
Una rappresentazione parametrica
si dice regolare se:
Una curva ammette infinite rappresentazioni parametriche. Ad esempio, consideriamo
Eseguiamo il cambio di parametro:
Risulta
che definisce una nuova rappresentazione parametrica della stessa curva, ottenuta mediante una riparametrizzazione.
Supponiamo ora di avere una curva Γ di rappresentazione parametrica regolare:
Con linguaggio improprio, chiamiamo Γ curva regolare. L'improprietà deriva dal fatto che una curva regolare è una classe di equivalenza nell'insieme delle sue rappresentazioni parametriche. In termini meno rigorosi, una curva regolare è l'elemento che accomuna un insieme di rappresentazioni parametriche regolari.
Definizione
Assegnata la curva regolare
un campo vettoriale u(t) lungo la curva Γ è la funzione vettoriale della variabile reale t:
come mostrato nella seguente figura:
Definizione
Un campo vettoriale u(t) lungo Γ è parallelo se
Definizione
La curva regolare
è semplice se la funzione vettoriale x(t) è iniettiva nella base X. Geometricamente la semplicità della curva si traduce nell'assenza di punti multipli:
Lemma
Se x=x(t) è una rappresentazione parametrica regolare, la funzione vettoriale x(t) è localmente iniettiva.
Dimostrazione
Dalla regolarità della rappresentazione parametrica segue
Quindi
Senza perdita di generalità supponiamo che sia
Abbiamo:
L'ultima implicazione si dimostra per assurdo utilizzando il teorema di Rolle:
Ma ciò è assurdo poichè è
per cui è necessariamente
In definitiva:
Osservazione
Il lemma appena dimostrato assicura l'iniettività locale di una rappresentazione parametrica regolare x(t), ma non l'iniettività globale. In altri termini, una curva regolare Γ può essere dotata di punti multipli. Di contro, comunque prendiamo t0 in X, esiste un intorno Iδ(t0) tale che Γ è ivi priva di punti multipli.