[¯|¯] Parte principale di un infinito

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Siano dati gli infiniti (in x0) f(x) e g(x). Se f(x) è di ordine a rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Definiamo

Quindi

Se

segue che r(x) è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g(x)). Infatti:

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinito di riferimento v(x), la formula di decomposizione diventa:

Proposizione
La parte principale di un infinito di ordine α è a sua volta un infinito di ordine α.
Dimostrazione
Abbiamo

Per la posizione fatta all'inizio:

onde l'asserto.
c.d.d.

Ne consegue che un qualunque infinito di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine r(x) che se è un infinito, è di ordine maggiore di α. Se f(x) e v(x) sono equivalenti, ovvero se

la formula di decomposizione si scrive:

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