Fig. 1
Nell'esercizio precedente abbiamo stabilito il seguente risultato:
Come vedremo più avanti, ciò si esprime dicendo che la funzione etan(x)-ex è per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. In questo numero ci proponiamo di generalizzare il predetto risultato studiando il seguente problema:
Problema
Determinare due funzioni φ(x) e ψ(x) tali che la funzione eφ(x)-eψ(x) sia per x->0, un infinitesimo di ordine 3 rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x. Cioè
Soluzione
Per semplicità supponiamo che φ(x) e ψ(x) siano infinitesimi per x->0:
per cui
come richiesto. Inoltre, supponiamo che tali funzioni siano derivabili almeno 3 volte in un intorno di x=0, in modo da poter applicare regola di De L'Hospital per un sufficiente numero di volte. Pertanto
Evidentemente se
si ha
In altri termini, se la funzione
non è un infinitesimo per x->0, necessariamente la funzione x³ tende a 0 più rapidamente di eφ(x)-eψ(x), per cui quest'ultima è un infinitesimo di ordine <3.
OsservazioneEscludiamo il caso in cui la funzione
è non regolare in x=0, i.e. non tende ad alcun limite per x->0.
Ne consegue che affinché il problema proposto ammetta almeno una soluzione, deve essere
In tale ipotesi possiamo riapplicare la regola di De L'Hospital:
Anche qui deve essere
Riapplicando la regola di De L'Hospital:
Ne consegue che affinché il problema ammetta almeno una soluzione, deve essere:
Se è verificata tale condizione si ha:
Ad esempio per
applicando le formule precedenti si ottiene il risultato illustrato in fig. 1.