[¯|¯] Comportamento all'infinito del rapporto di funzioni trigonometriche

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Calcolare:

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Soluzione
Poniamo per definizione:

distinguendo i due casi:

Nel primo caso scriviamo:

giacché

in forza del teorema dei carabinieri. Infatti, la funzione (sin x)/x è definitivamente limitata (in un intorno di +oo o di -oo) tra -(1/x) e (1/x), che sono entrambe infinitesime per x->±oo. Quindi per a=0 siamo tentati a scrivere . Più precisamente:

Ma il limite per x->±oo non esiste. Infatti, x/(sin x) è definitivamente limitata (in un intorno di +oo o di -oo) tra -x e x, per cui detta funzione assume infinite volte (in ogni intorno di +oo o di -oo) tutti i valori tra -oo e +oo. Ne concludiamo che il limite proposto non esiste per a=0.
Nelle figg. 1 e 2 riportiamo il grafico di f_a=2(x) e f_a=0(x) rispettivamente.