[¯|¯] Punti di discontinuità di una funzione dipendente da un parametro

Determinare i valori del parametro reale positivo α in corrispondenza dei quali, la funzione di fig. 1 ha in x=1 una discontinuità eliminabile.

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Soluzione
Caso 1: 0<=α<7, cosicché

Dal momento che

si ha

Il limite destro

da cui vediamo che per 0<=α<7 il punto di accumulazione x=1 è di discontinuità di seconda specie. In fig. 2 riportiamo l'andamento del grafico della funzione per &alpha=6.9.

Caso 2: α=7
Qui è

onde

Ne concludiamo che per α=7 il punto x=1 è di discontinuità di prima specie, come illustrato in fig. 3.

Caso 3: 7
Calcoliamo i limiti:

Cioè

per cui x=1 è un punto di discontinuità eliminabile. Precisamente, modificando la funzione come segue:

il cui grafico è riportato in fig. 4.

Caso 4: α=8
Risulta:

per cui

Ciò implica che x=1 è un punto di discontinuità di prima specie, come illustrato in fig. 5.

Caso 5: α>8
In quest'ultimo caso abbiamo










Quindi

cosicché x=1 è un punto di discontinuità di seconda specie, come illustrato in fig. 6.