[¯|¯] Esempio di sottospazio vettoriale di R^n

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Esercizio

Nello spazio vettoriale Rⁿ si consideri l'insieme:

dove m<=n. Si dimostri che W_m è un sottospazio vettoriale di Rⁿ (n-m)-dimensionale. Discutere il caso m=n.

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Soluzione
Prendiamo ad arbitrio due elementi x,y di W_m:

Segue

onde

Prendiamo ad arbitrio x in W_m e λ in R:

Quindi

Per determinarne la dimensione, ricerchiamo una base. A tale scopo occorre e basta osservare che un qualunque vettore x in W_m si scrive come:

Segue che una base di W_m è {u₁,u₂,...,u_n-m}, dove

avendosi

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