Carte locali

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Per un'assegnata rappresentazione parametrica regolare x(u,v) di classe C^p sull'aperto B, di una superficie S, consideriamo l'applicazione

definita in B e a valori nel piano cartesiano (θ,φ), e tale che

In generale, la predetta applicazione non è globalmente iniettiva, ma lo è localmente in virtù del Teorema del Dini
Precisamente:

con inversa

che è di classe C^{p} su W^{*}, come illustrato in fig.

In altre parole, per il teorema del Dini la restrizione di θ(u,v),φ(u,v) all'aperto W è bi-iettiva, quindi invertibile:

Tale applicazione ci consente di definire la funzione composta:

Calcoliamo le derivate parziali applicando la regola di derivazione delle funzioni composte:

Quindi il prodotto vettore:

Lo jacobiano della trasformazione u=u(θ,φ),v=v(θ,φ) è

Quindi

cosicché x=ξ(θ,φ) è una rappresentazione parametrica regolare di classe Cp su W*, di S* contenuta in S, dove S* è l'immagine di W*. Diremo che la predetta rappresentazione è una carta locale di classe C^p su W*, di S*.

Deve essere