Soluzione
Il punto x=0 è un punto ordinario per l'equazione differenziale assegnata. Quindi in un intorno di x=0
da cui le derivata prima e seconda:
Inserendo tutto questo nell'equazione assegnata
Il trucco consiste nel far comparire un'unica sommatoria, per cui dobbiamo abbassare il minimo indice. Ciò è immediato nella seconda e terza sommatoria perché c'è il termine k
Nella prima invece, eseguiamo il cambio di indice k'=k-2 per cui
dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridefinito k' in k, in quanto trattasi di un indice muto. Segue
È chiaro che dovrà annullarsi il termine tra parentesi, per ogni k
Dopo qualche semplice passaggio
cioè la formula di ricorrenza per i coefficienti dello sviluppo in serie che definisce la soluzione generale in un intorno di x=0. Rammentiamo che i primi due coefficienti sono arbitrari e come tali sono costanti di integrazione. Abbiamo
Ne consegue
Allora
cosicché
Ne concludiamo che y(x) è un polinomio di grado n:
Per convenzione si impone y(1)=1, e le corrispondenti soluzioni polinomiali sono i polinomi di Legendre.
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