Risoluzione di un problema di Cauchy con uno sviluppo in serie di Taylor

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Esercizio
Risolvere il problema di Cauchy riportato in fig. 1. Per l'integrazione dell'equazione differenziale si utilizzi lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1 troncato al quarto ordine. Si confronti il risultato con quello trovato utilizzando un software del tipo Mathematica, trovando il raggio del predetto intorno.

Soluzione

Si tratta di sviluppare la soluzione del problema assegnato in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1:

Se siamo interessati alla soluzione in un intorno di x₀=-1, arrestiamo lo sviluppo a un ordine assegnato. Il testo dell'esericizio dice di arrestare al quarto ordine:

Dai dati iniziali:

Per calcolare la derivata secondo in x=-1, riscriviamo l'equazione differenziale assegnata:

onde

Per il calcolo della derivata terza, deriviamo l'equazione scritta più sopra

Quindi

Derivando nuovamente:

cosicché

Finalmente

Per la determinazione del raggio d dell'intorno di x0=-1, integrando in «modalità simbolica» con
Mathematica otteniamo poi i grafici di fig. 1 da cui vediamo che per l'approssimazione assegnata, è δ <= 1.