Impostazione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali delle geodetiche. Le geodetiche del Toro

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Prima di "tuffarci" nell'integrazione numerica (via software) delle equazioni differenziali delle geodetiche su una superficie di rotazione, esamianiamo in dettaglio l'impostazione analitica per poi darne una interpretazione geometrica. A tale scopo, riscriviamo il sistema di equazioni differenziali nella forma normale, i.e. risolta rispetto alla derivata di ordine massimo:

dove

definite in A=[a,b]×R². Si ricordi che la regolarità della curva generatrice implica:

La conseguente regolarità delle funzioni f e g soddisfa sovrabbondantemente le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità (o teorema di Cauchy-Lipschitz) della soluzione del problema di Cauchy definito dalle seguenti condizioni iniziali:

avendo assegnato ad arbitrio i numeri reali:

Ne consegue l'esistenza di una ed una sola curva integrale del sistema scritto sopra, la cui rappresentazione naturale è:

ove l'ascissa curvilinea s1 è determinata dall'ampiezza dell'intorno in cui è verificato il teorema di esistenza ed unicità. Tale curva passa per il punto Q₀(u₀,v₀) e ha ivi versore tangente:

Dall'analisi del predetto problema di Cauchy, segue

Ciò implica la regolarità della suddetta curva integrale, a cui corrisponde un'unica curva tracciata su S che è a sua volta regolare. Quest'ultima è proprio la geodetica che risolve il problema posto. Quindi per il punto

passa una ed una sola geodetica il cui versore tangente è il «corrispondente» del versoretau;₀. La rappresentazione naturale è

Come è noto, dalla geometria differenziale sappiamo che il versore tangente si scrive

per cui il versore tangente alla geodetica nel punto iniziale P0 è

Ne consegue che per un punto P0 passa una ed una sola geodetica tangente a un versore assegnato, ma ne passano infinite considerando tutte le orientazioni possibili.
Nel caso particolare del toro:

Quindi

che in forma normale si scrive:

essendo

Integrando numericamente per un'assegnata condizione iniziale, otteniamo le funzioni u(s),v(s) e quindi la rappresentazione naturale della geodetica:

In fig. 1 sono tracciate alcune geodetiche sul toro.