Il limite della somma di una serie è uguale alla somma della serie dei limiti?

---

Esercizio
Studiare la convergenza in [0,1] della serie di funzioni:

È lecito scrivere

Soluzione

Poniamo

da cui la somma parziale di ordine N

Cioè

Per rimuovere la forma indeterminata 0·oo, esplicitiamo la somma parziale nel punto x=0:

Alternativamente

Ne consegue la convergenza della serie in [0,1]

Cioè la somma f(x) ha una discontinuità di prima specie in x=0, giacché

Studiamo il tipo di convergenza (uniforme o puntiforme). Deve essere

In particolare

Cioè

Segue

per cui la convergenza puntuale. In fig. 1 il grafico della somma f(x) e delle prime 15 somme parziali.

La risposta al secondo quesito è negativa, anche se poi dobbiamo rammentare che la convergenza uniforme è una condizione sufficiente ma non necessaria affinché il limite della somma della serie sia uguale alla somma della serie dei limiti delle singole funzioni (Teorema del limite).