Esercizio
Si consideri una barra metallica verticale di densità lineare ?_{l} e lunghezza l incastrata ad una estremità (fig. 1). Si chiede:
a) di ricavare l'equazione differenziale relativa alle vibrazioni trasversali;
b) risolvere questa equazione differenziale usando il metodo delle serie di potenze e determinare la frequenza minima delle vibrazioni.
Soluzione
Quesito a
La tensione T, cui è sottoposta la barra, in una sezione x dall'origine O è data dal peso del tratto (l-x), e precisamente:
La forza d'inerzia, diretta come y, in un tratto Δx vale
che è l'equazione differenziale per piccole oscillazioni trasversali.
Quesito b
Per risolvere la predetta equazione differenziale, applichiamo il metodo di separazione delle variabili, cioè cerchiamo soluzioni:
per cui
Poiché il membro di sinistra dipende solo da t e quello di destra dipende solo da x, ciascuno sarà uguale ad una costante, che chiameremo -λ, essendo -λ > 0. Così otteniamo due equazioni differenziali ordinarie:
e le condizioni al contorno sono
Scriveremo allora
Quindi avremo
Sostituendo si ha
che diventa
per la quale scriveremo:
Quindi
ottenendo
Dalla condizione ξ(0)=0 possiamo scrivere
cioè l'equazione f(λl)=0 le cui radici λl consentono di calcolare le frequenze
in virtù dell'equazione differenziale
Risolviamo per n=2:
per cui l'equazione f(λl)=0 può essere risolta seguendo il metodo approssimato di Newton. Una radice ak+1 può essere calcolata così
Poiché
assumendo a1=0 abbiamo
Assumendo a3=1.5 come la più piccola radice positiva:
mentre la frequenza minima è
