Fino a questo momento abbiamo considerato serie numeriche; precisamente, a una successione di elementi di R:
possiamo associare la serie numerica
Nulla ci impedisce di generalizzare tale nozione alle funzioni. A tale scopo, consideriamo una successione di funzioni reali della variabile reale x:
definite in un assegnato insieme X (sottoinsieme di R). A tale successione possiamo associare la serie di funzioni
Definizione
La serie di funzioni (v. eq. sopra) è convergente nell'insieme X se comunque prendiamo x0 in X, è convergente la serie numerica
Ne segue che per ogni x appartenente a X
che definisce univocamente in X la funzione f(x) quale somma della serie data. Quindi, per un assegnato x:
dove non abbiamo fatto altro che applicare la definizione di limite alla successione delle somme parziali {SN(x)}. Notiamo tuttavia che l'indice νε viene a dipendere oltre che da ε, dal punto x. Ciò implica che per un assegnato ε, è definita la funzione:
In tal modo riscriviamo la definizione di limite:
È possibile svincolarsi da x? Per rispondere a tale quesito, consideriamo il codominio della predetta funzione, ovvero l'immagine di X attraverso νε
Se riesce
allora
Cioè abbiamo un unico indice che dipende solo da epsilon;. In tal caso si dice che la serie è uniformemente convergente. Se, invece, il codominio I non è limitato superiormente i.e. supI=+oo, allora non è possibile svincolarsi da x e si dice che si ha convergenza puntuale (o puntiforme) o più semplicemente, convergenza.
Quanto appena esposto, si riformula efficacemente in termini di resto di ordine N della serie assegnata. In generale:
Ad esempio, consideriamo in X=[0,1] la serie
Posto
Vediamo che
cioè una successione di polinomi. La somma parziale di ordine N si scrive:
Cioè
Per calcolare
è preferibile esplicitare dapprima il valore della somma parziale in x=1:
Ne segue
Di contro
In definitiva, la serie è convergente in X
con
Cioè la somma della serie assegnata è una funzione che presenta una discontinuità di prima specie in x=1. Per vedere se la convergenza è uniforme consideriamo il resto di ordine N:
Quindi
Segue
Perciò
il cui comportamento agli estremi di (0,1) è
cosicché ν0=+oo e si ha convergenza puntuale. Tuttavia, se consideriamo la convergenza in X'=[0,ξ] per 0 < ξ < 1, si ha
Cioè la serie è ivi uniformemente convergente. In fig. 1 riportiamo il grafico della somma della serie e delle 15 somme parziali.