Esercizio
Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:
a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.
Soluzione
In coordinate cilindriche abbiamo P(r,φ,z) e l'equazione del parabolide in tale sistema di coordinate è z=Ar² dove A è una costante positiva.
Quesito a
La lagrangiana è
Tenendo conto dell'equazione del paraboloide, si ha:
Quindi
Quesito b
I momenti generalizzati sono:
da cui l'hamiltoniana:
Quesito c
Le equazioni di Lagrange
danno
Se poniamo che la costante sia mh, abbiamo dalla seconda equazione:
che sostituita nella prima:
Quesito d
L'ipotesi del problema è dφ/dt=0, quindi la prima delle equazioni del moto diventa:
Il punto più basso del paraboloide ha coordinata radiale r=0. Per piccole oscillazioni r,e le sue derivate sono piccole quantità; pertanto in prima approssimazione possiamo scrivere:
che è del tipo oscillatore armonico con frequenza angolare:
