Esercizio
Un sistema di tre masse come in fig. 1, con M > m, si muove lungo una retta orizzontale. Si chiede:
a) quali sono le frequenze presenti nel sistema;
b) se la massa di sinistra riceve un impulso P0 al tempo t=0, determinare il moto della stessa massa come funzione del tempo.
Soluzione
Quesito a
Contando da sinistra, siano x1,x2,x3, gli spostamenti delle tre masse dalla loro posizione di equilibrio. La lagrangiana del sistema è
e le equazioni di Lagrange
per risolvere le quali tentiamo le soluzioni seguenti (i è l'unità immaginaria):
che danno
ovvero un sistema lineare omogeneo. Per soluzioni non banali dobbiamo imporre:
Discutiamo
Quindi le frequenze normali sono:
Per ω=ω1
Dalle equazioni di Lagrange
dove a,b sono costanti, che mostrano che le tre masse subiscono una traslazione come un corpo rigido senza oscillazioni. Per ω=ω2
e le altre equazioni forniscono
le cui soluzioni sono:
In questo modo la massa m rimane ferma, mentre le masse M oscillano armonicamente fuori fase una con l'altra. Per ?=?3 in modo del tutto simile, si ricava
Cioè le masse M oscillano con la stessa ampiezza e fase, mentre la massa m oscilla fuori fase e con ampiezza diversa. Il moto del sistema si può quindi riassumere in
dove le costanti sono determinate dalle condizioni iniziali.
Quesito b
Abbiamo le condizioni iniziali
Ne segue
