Come è noto, l'insieme R dei numeri reali assume la struttura algebrica di campo, attraverso un numero finito di assiomi relativi alle leggi di composizione «addizione» (+) e «moltiplicazione» (·). Riferiamoci in particolare alla proprietà associativa dell'addizione:
Ci proponiamo di verificare se tale proprietà si conserva nel caso di un numero infinito di addendi. A tale scopo, consideriamo la serie
per cui siamo tentati a riscrivere tale somma di infiniti termini, in una forma del tipo:
Per rendere operativa l'associazione degli infiniti termini di una serie, diamo la seguente definizione:
Definizione
La serie
è dedotta dalla serie assegnata associandone i termini, se esiste una successione di indici:
tale che
In modo più compatto:
Ad esempio:
Ciò premesso, dimostriamo:
Teorema
Hp.
Th.Per ogni serie dedotta da quella di partenza associandone i termini, si ha
Dim.
Denotando con TN la somma parziale di ordine N relativa alla serie dedotta per associazione di termini, si ha:
Ne segue che {TN} è una successione estratta dalla {SN}. Per una nota proprietà
esprime la proprietà associativa dell'addizione nel caso di un numero infinito di addendi, a patto che la serie assegnata sia convergente o divergente. Infatti, tale proprietà non vale per le serie indeterminate. Ad esempio:
da cui può essere dedotta la serie
la cui somma è 0. Utilizzando una notazione imprecisa ma suggestiva:
