La funzione zeta nel campo reale. Studio di un integrale generalizzato

---

In una lezione precedente abbiamo incontrato la funzione euleriana gamma:

Definiamo la funzione zeta nel campo reale:

Dimostriamo

Proposizione

Dim.

Nell'integrale

eseguiamo la sostituzione x=ny, per cui

Cioè

Sommando primo e secondo membro su n

Nell'integrale la serie si somma facilmente. Scriviamo la seguente serie geometrica:

o ciò che è lo stesso:

onde l'asserto.