Componenti di un vettore in una base ortonormale. Matrici unitarie

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Sia {e_i} una base ortonormale di uno spazio unitario n-dimensionale V. Quindi

essendo (α₁,α₂,...,α_n) le componenti di ξ nella predetta base. Segue

Quindi in una base ortonormale lo sviluppo di un qualunque vettore come combinazione lineare dei vettori di base, assume la forma:

***

Siano {e_i},{e'_i} due basi ortnormali distinte di uno stesso spazio unitario V. Esprimiamo i vettori della seconda base come combinazione lineare dei vettori della prima base:

Formiamo la matrice che connette le due basi:

D'altra parte

Dall'algebra delle matrici sappiamo che la matrice inversa è definita da

Nel caso in esame ci fa passare dalla nuova base alla vecchia, per cui

La matrice trasposta:

La matrice hermitiana coniugata, definita come la trasposta dei complessi coniugati degli elementi di matrice:

Una matrice che verifica tale proprietà (la hermitiana coniugata coincide con l'inversa) si chiama matrice unitaria. Ne concludiamo che in uno spazio unitario, due basi ortonormali sono connesse da una matrice unitaria.