L'integrazione della prima forma dell'equazione delle orbite, restituisce la funzione r(φ?) ovvero l'equazione dell'orbita in coordinate polari. In molti problemi è conveniente eseguire un cambio di variabile (in modo da evitare la singolarità in r=0). Rammentiamo innanzitutto che l'anomalia φ?(t) è una funzione monotona; inoltre, per la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha
D'altra parte
Eseguendo l'ulteriore cambio di variabile r=1/u
Deriviamo nuovamente rispetto al tempo t
ed è questo il termine da inserire a primo membro dell'equazione differenziale del moto nel dominio del tempo, vale a dire:
Esplicitiamo il secondo membro
ottenendo finalmente
che è la seconda forma dell'equazione delle orbite. Ricordando che l'energia meccanica totale è
si ha immediatamente:
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