Risolviamo quest'esercizio di meccanica razionale/meccanica analitica.
Una particella di massa m si muove in un campo di forza dato da
Se essa parte sul semiasse positivo x a distanza D dall'origine e si muove con velocità v0 in una direzione che forma un angolo α con il predetto semiasse, si dimostri che l'equazione differenziale per la coordinata radiale r, è
Soluzione
L'energia potenziale del campo assegnato è
per cui il potenziale efficace è
e quindi l'equazione differenziale del moto
Le condizioni iniziali date dall'esercizio ci permettono di esplicitare la componente z del momento angolare. Infatti, orientando la solita terna inerziale con il piano xy coincidente con il piano orbitale, si ha innanzitutto:
Il momento angolare è
da cui il risultato.
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