Condizione di chiusura delle orbite. Commensurabilità con 2 pi greco

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Riprendiamo la lezione precedente.
L'angolo polare tra P (pericentro) ed A (apocentro) è

In pericentro ed apocentro l'orbita è tangente rispettivamente alle circonferenze che costituiscono la frontiera della regione accessibile, ossia

giacché nei predetti punti, la velocità radiale è nulla. Inoltre, la periodicità del moto rispetto alla coordinata radiale implica che la particella giunta in A, si sposta nuovamente verso r_min ovvero verso un altro punto di Γ_min, conservando l'angolo Δφ, e così via all'infinito. Ne segue che l'orbita è chiusa se e solo se

cioè se e solo se dopo un centro numero di transiti per pericentro ed apocentro, l'angolo spazzato dal raggio vettore è un multiplo intero di 2π. Ciò equivale a dire che il predetto angolo è commensurabile con 2π.