Aspetti matematici della formula di Planck

L'interpolazione di Planck

Per quanto visto, Planck trovò la legge:

come formula di interpolazione della Rayleigh-Jeans

valida nel limite delle basse frequenze, e della formula di Wien

valida nel limite opposto. Ciò premesso, adimensionalizziamo la variabile indipendente:

Ne segue

dove

Questa funzione presenta una discontinuità eliminabile in x=0:

ed è un infinitesimo di ordine infinitamente grande per x->+oo. Ciò garantisce la sommabilità in [0,+oo).
La derivata prima è

da cui g'(0)=0, cioè il grafico di g(x) parte da x=0 con tangente orizzontale. Per determinare eventuali estremi relativi al finito, dobbiamo risolvere l'equazione

e ciò va fatto numericamente, ottenendo x_max=2.82 ed è facile convincersi che è un punto di massimo relativo. Assegnato un intorno destro di x=0 di raggio &deltlla;, si ha sviluppando in serie di Taylor l'esponenziale a numeratore:

Ne segue che nel predetto intorno la funzione si comporta come x². Ripristinando la vecchia variabile, ritroviamo la formula di Rayleigh-Jeans. Nel limite opposto:

come vediamo nel grafico di fig. 1.

Potenza irradiata

Per determinare la potenza irradiata dall'unità di superficie di un corpo nero, non dobbiamo fare altro che integrare la densità spettrale di potenza. Cioè

Eseguendo il solito cambio di variabile:

L'integrale che compare in quest'equazione è un caso particolare di

dove Γ e ζ sono rispettivamente la funzione euleriana gamma, e la funzione zeta di Riemann

dove ora compaiono i numeri di Bernoulli. Nel nostro caso è n=3

Ne concludiamo

dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann